一元二次函数及其图像与性质

一元二次函数是数学中常见的一种函数形式，一般形式为y=ax²+bx+c（其中a≠0，a、b、c为常数）。这种函数的图像是一个抛物线，具有特定的开口方向、大小以及与坐标轴的交点等性质。

一、图像的开口方向与大小

当a>0时，抛物线的开口向上；

当a<0时，抛物线的开口向下；

|a|的大小决定了抛物线的开口大小，|a|越大，开口越小；

|a|越小，开口越大。

二、对称轴的位置

当b=0时，抛物线的对称轴为y轴；

当ab>0时，对称轴在y轴左侧；

当ab<0时，对称轴在y轴右侧。

三、与坐标轴的交点

当c=0时，抛物线过原点；

常数项c决定抛物线与y轴的交点，即交于(0,c)；

当c>0时，图像与y轴正半轴相交；

当c<0时，图像与y轴负半轴相交。

四、性质

二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a；

二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；

常数项c决定抛物线与y轴交点。

五、对称关系

对于一般式：

(1) y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称；

(2) y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称；

(3) y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx+c-b2/2a关于顶点对称；

(4) y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。

对于顶点式：

(1) y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称；

(2) y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称；

(3) y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称；

(4) y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称。