三角形的角平分线是几何学中的一个重要概念，它连接了三角形的顶点与交于对边的点。本文将详细介绍三角形的角平分线的定义、性质以及证明方法。

一、角平分线的定义

三角形的其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段被称为三角形的角平分线。

二、角平分线的性质定理

角平分线可以得到两个相等的角。

角平分线上的点到角两边的距离相等。

三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

三、证明方法

角平分线线上的点到角两边的距离相等。

若射线AD是∠CAB的角平分线，则我们有以下证明过程：

∵∠DCA=∠DBA，∠CAD=∠BAD，AD=AD（共享边和角），

∴△ACD≌△ABD（全等三角形判定定理：SAS），

∴CD=BD（全等三角形对应边相等）。

三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例。

在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，我们有以下证明过程：

∵AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF，则DE=DF（垂直于同一平面的两条直线平行），

∴S△ABD：S△ACD=BD/CD（三角形面积公式：面积=底边长度×高度），

又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC（三角形面积公式），

所以BD/CD=AB/AC（等量代换）。